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∫(0→∞)sinx/xDx=π/2

你好! 利用二重积分来计算 详细解答如图

这是一个超越积分(通常也称为不可积),也就是说这个积分的原函数不能用我们所学的任何一种函数来表示.但如果引入新的函数erf(x)=∫[0,x]e^(-t^2)dt,那么该函数的积分就可表示为erf(x)+c. 道理很简单,比如∫x^ndx,一般的该积分为1/(n+1)x^(n+1),如果...

∫sinx/x dx不能用初等函数表示 I=∫∫{D}siny/y dxdy =∫{0->1}dy ∫{y^2->y}siny/ydx =∫{0->1}(siny/y) (y-y^2)dy =∫{0->1}(siny-siny*y)dy =∫{0->1}(1-y)d[-cosy] =(1-1)[-cos1]-(1-0)d[-cos0] =∫{0->1}[-cosy]d[1-y] =1-∫{0->1}cosydy =1-sin1 积...

在单位圆中,x为角x对应的弧长,sinx是角x终边与单位圆的交点向x轴作的垂线,前者大于后者,因此,在[0,π/2],sinx/x≤1≤x/sinx i2>i1

I2>I1

证明不是绝对收敛利用了|sinx|<sin^2x,然后用二倍角公式拆成两项,一收敛一发散;证明是条件收敛直接利用Dirichlet判别法。

∫[0,π/2]sinxdx/x M=lim(x->0) sinx/x=1 m=2/π 1=(π/2-0)*(2/π) < ∫[0,π/2]sinxdx/x < (π/2-0)*1=π/2

如图

可用无穷级数来表示 因为泰勒展开式sinx=x-x³/3!+x^5/5!-.. sinx/x=1-x²/3!+x^4/5!-...... 故∫sinx/xdx=x-x³/(3*3!)+x^5/(5*5!)-x^7/(7*7!)+.....

函数f(x)=sinx/x在(0,π/2)上单调递减. f(π/2)=2/π.由定积分的几何意义,围成的图形的面积介于梯形(顶点(0,1)、(π/2,0)、(0,0)、(π/2,2/π))与矩形之间.利用面积就可以证明了,不懂追问

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