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Lim(n→∞)∫(上1下0) x^n Dx=?

原题 = lim(n->∞) ∫(1,0) x^n dx = lim(n->∞) x^(n+1)/(n+1) |(1,0) = lim(n->∞) 1/(n+1) = 0

显然∫ nx /(1+nx) dx =∫ 1 -1/(1+nx) dx = x - 1/n *ln|1+nx| 那么代入上下限1和0, 得到定积分值为 1- 1/n *ln|1+n| 而在n→∞的时候,1/n *ln|1+n|也趋于0, 故原极限值为 1

分部积分,由n趋于∞时,x^n=0化简。。

lim(n~+∞)∫(0,1)x^ndx/1+x^n 根据积分中值定理,存在一个ξ∈(0,1)使得:∫(0,1)x^ndx/1+x^n=ξ^n/(1+ξ^n) 因为ξ∈(0,1),所以lim(n~+∞)ξ^n/(1+ξ^n)=0 所以结果为0

答案在图片上,希望得到采纳,谢谢。愿您学业进步☆⌒_⌒☆

如图中::

泰勒中值定理:若函数f(x)在开区间(a,b)有直到n+1阶的导数,则当函数在此区间内时,可以展开为一个关于(x-x.)多项式和一个余项的和: f(x)=f(x.)+f'(x.)(x-x.)+f''(x.)/2!•(x-x.)^2,+f'''(x.)/3!•(x-x.)^3+……+f(n)(x.)/n!•...

如图

如果x的绝对值大于1, 那么x的无穷大次方显然是趋于无穷的, 而绝对值等于1的时候, x的无穷次方就等于1或不存在 所以在n趋于无穷大的时候, 如果x的n次方趋于0, 一定会有x属于(-1,1)

收敛. 考虑n比较大时,1/n 0,积分函数可以近似为 √x,积分后约为 1/n^(3/2),而级数 1/n^3/2是收敛的.

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